程光远
线段树--从入门到精通
来源:王建永     发布时间: 2019-05-08      浏览次数:179

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线段树,强大的数据结构,用处也是比较广的。

 

首先,我们要明白线段树是个啥?

线段树,线段嘛,有左右端点,那么它当然可以代表一个区间,那么区间上的好多事情都可以用它来搞,比如:区间加,区间乘,区间求和。

 

首先让我们先看个线段树的模型。

 

如图,这就是一棵线段树的模型。

圈内的点表示这是第几个点,红色表示这个点表示的区间范围。

每个点和它的左右两个儿子的编号是有一定的关系的:

点N,它的左儿子编号为N$imes$2,右儿子编号为N$imes$2+1.

 

线段树支持单点修改,区间修改,单点查询,区间查询。

讲解有易到难。

先放一张后边当例子讲解的图(每个圈中的数表示的为这个区间的和)。

构建线段树框架

假设一段长度为 N 的序列,那么我们需要维护总长为 1--N 的线段。

对于每一个点,我们需要确定它所表示的线段的 左端点 右端点 以及我们要维护的区间和

对于每个点的左儿子和右儿子来说,左儿子继承前一半 [L,(L+R)/2],右儿子继承后一半( (L+R)/2,R ]。

还有我们维护的区间和,每个大区间都是有两个小区间组成,那么 大区间的和 = 左儿子的和+右儿子的和。

这部分代码:

struct ahah{ long long l,r,sum,f;  //对于 f 的作用,后边会有解释,此处忽略。}tree[200000<<2];    注意此处四倍空间。void build(int k,int l,int r){ tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%lld",&tree[k].sum); return ; } long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; build(k<<1,l,mid); build(k<<1|1,mid+1,r); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;}

 

单点查询与修改

单点修改,我们已知单点的位置,那么我们从一号点开始,根据两个儿子所代表的区间范围,选择下一步是走左儿子还是右儿子,今儿一步步的确定准确的点。

单点查询与单点修改几乎一样,查询到具体的位置后,输出其结果。

拿上边的图进行模拟下:

修改4号点:左儿子[0,4],右儿子[5,8] ->选择左儿子 ->左儿子[0,2],右儿子[3,4] ->选择右儿子 ->... -> 找到4号点修改。

查询同上。

当我们修改完某个点以后,包含这个点的区间的和发生了改变,所以最后我们还要加一句:

$tree[k].sum=tree[k imes 2].sum+tree[k imes 2+1].sum$ 以确保维护的区间和不会改变。

代码:k表示点的编号,需要给x号点加上y 。

void update(int k){ if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].sum+=y; return ; } long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)update(k<<1); else update(k<<1|1); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;}

 

区间求和与修改

区间修改与查询也有很大的相似。

区间修改,暂时来说我们没有好办法,只能一个一个的修改区间中的每一个元素,后边会有优秀做法的讲解。

区间查询,我们需要明确这个被查询的区间位置。

以下被查询的区间用[a,b]表示,k表示当前的点的编号。

首先我们从最大的区间开始,判断被查询的区间,有三种情况:

1.位于左儿子中($b le tree[k<<1].l $)还是右儿子中($a > tree[k<<1|1].l $),然后选择下一步是去左儿子还是右儿子。

2.被查询的区间被两部分都包括,那么我们就将区间分开,一部分查询左区间,一部分查询右区间。

3.现在的点所代表的区间$(a <= tree[k].l  , b >= tree[k].r )$ 被要查询的区间所包含,那么不需要再查下去,直接将答案加上这段区间所维护的和就好了。

拿查询区间[3,5]模拟一下:

mid表示当前区间的二分点。

    

 

代码用递归实现:

void query(int k){ if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r) { ans+=tree[k].sum; return ; } if(tree[k].f)down(k); //先省略就好。 long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)query(k<<1); if(y>mid)query(k<<1|1);}

 

重点来了:懒标记

对于区间修改来说,我们一个一个的修改浪费大量的时间,并且修改了还不一定查修这个点,为了解决这个问题,我们引入懒标记 f 。

首先我们要明确他的一个性质: 懒,用得着的时候动一下,用不着的时候就永远在那。

每个节点的的懒标记记录的是它所代表的这个区间所加的值 f 。

就像区间查询一样,当区间不被包含时,分开查找,当目前区间已被要修改的区间包含时,那么我们就可以直接给这个点,打上懒标记,不需要去准确的一个一个的修改区间内的元素了。

那这样的话必究没法维护区间和了?

我们维护区间和为的是啥?当然是为了求区间和了,当我们在查询的时候,若用得到这整个区间,那么返回 维护的值 + 区间元素个数$imes$懒标记的值,若不全用得到的话,那么我们将懒标记下传给它的左右两个儿子,然后继续查找。区间和并不是没有维护,而是在维护懒标记从而间接地维护者区间和。

这里需要注意的是:当节点的懒标记下传给儿子的时候它的懒标记则需要清空,因为已经传给了儿子。

懒标记下传代码:

void down(long long k){ tree[k<<1].f+=tree[k].f; tree[k<<1|1].f+=tree[k].f; tree[k<<1].sum+=(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1)*tree[k].f; tree[k<<1|1].sum+=(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1)*tree[k].f; tree[k].f=0;}

 

用到懒标记的区间加以及求和:

void query(int k){ if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r) { ans+=tree[k].sum; return ; } if(tree[k].f)down(k); long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)query(k<<1); if(y>mid)query(k<<1|1);}void add(long long k){ if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { tree[k].sum+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*val; tree[k].f+=val; return ; } if(tree[k].f) down(k); long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)add(k<<1); if(y>mid)add(k<<1|1); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;}

综上就是先对简单的线段树操作。

贴上模板:

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;long long n,m,ans,x,y,ch,val;struct ahah{ long long l,r,sum,f;}tree[200000<<2];void build(int k,int l,int r){ tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%lld",&tree[k].sum); return ; } long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; build(k<<1,l,mid); build(k<<1|1,mid+1,r); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;}void update(int k){ if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].sum+=y; return ; } long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)update(k<<1); else update(k<<1|1); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;}void down(long long k){ tree[k<<1].f+=tree[k].f; tree[k<<1|1].f+=tree[k].f; tree[k<<1].sum+=(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1)*tree[k].f; tree[k<<1|1].sum+=(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1)*tree[k].f; tree[k].f=0;}void query(int k){ if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r) { ans+=tree[k].sum; return ; } if(tree[k].f)down(k); long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)query(k<<1); if(y>mid)query(k<<1|1);}void add(long long k){ if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { tree[k].sum+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*val; tree[k].f+=val; return ; } if(tree[k].f) down(k); long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)add(k<<1); if(y>mid)add(k<<1|1); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;}int main(){ scanf("%lld%lld",&n,&m); build(1,1,n); for(int i=1;i<=m;i++) { ans=0; cin>>ch>>x>>y; if(ch==1) { cin>>val; add(1); } else { query(1); cout<<ans<<""; } }}

 

例题:

入门

模板:洛谷线段树1:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372

单点修改与区间查询:最大数https://www.luogu.org/problemnew/show/P1198

进阶:

妖梦斩木棒:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3797

无聊的数列:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1438

 

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